Problems & Solutions

设函数 $y=f(x)$，请针对以下12种函数极限的趋近过程，分别用 $\varepsilon-\delta$（或 $\varepsilon-N$）语言精确描述其数学含义（即用不等式表达），并各举一个具体的函数例子进行说明：
（1）当 $x \rightarrow a$ 时，函数值 $y$ 从 $b$ 的下方无限趋近于 $b$（即 $y \rightarrow b-0$）；
（2）当 $x$ 从 $a$ 的左侧趋近于 $a$（即 $x \rightarrow a-0$，左极限）时，$y \rightarrow b-0$；
（3）当 $x$ 从 $a$ 的右侧趋近于 $a$（即 $x \rightarrow a+0$，右极限）时，$y \rightarrow b-0$；
（4）当 $x \rightarrow a$ 时，函数值 $y$ 从 $b$ 的上方无限趋近于 $b$（即 $y \rightarrow b+0$）；
（5）当 $x \rightarrow a-0$ 时，$y \rightarrow b+0$；
（6）当 $x \rightarrow a+0$ 时，$y \rightarrow b+0$；
（7）当 $x \rightarrow \infty$ 时，$y \rightarrow b-0$；
（8）当 $x \rightarrow -\infty$ 时，$y \rightarrow b-0$；
（9）当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$y \rightarrow b-0$；
（10）当 $x \rightarrow \infty$ 时，$y \rightarrow b+0$；
（11）当 $x \rightarrow -\infty$ 时，$y \rightarrow b+0$；
（12）当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$y \rightarrow b+0$。

(1) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=-|x|$（$x \rightarrow 0$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(2) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < a-x < \delta$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=x$（$x \rightarrow 0-0$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(3) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < x-a < \delta$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=-x$（$x \rightarrow 0+0$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(4) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=|x|$（$x \rightarrow 0$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(5) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < a-x < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=-x$（$x \rightarrow 0-0$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(6) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < x-a < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=x$（$x \rightarrow 0+0$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(7) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=-\frac{1}{|x|}$（$x \rightarrow \infty$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(8) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=\frac{1}{x}$（$x \rightarrow -\infty$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(9) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=-\frac{1}{x}$（$x \rightarrow +\infty$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(10) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=\frac{1}{|x|}$（$x \rightarrow \infty$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(11) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=-\frac{1}{x}$（$x \rightarrow -\infty$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(12) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=\frac{1}{x}$（$x \rightarrow +\infty$ 时 $y \rightarrow 0+0$）

(1) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=-|x|$（$x \rightarrow 0$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(2) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < a-x < \delta$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=x$（$x \rightarrow 0-0$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(3) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < x-a < \delta$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=-x$（$x \rightarrow 0+0$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(4) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=|x|$（$x \rightarrow 0$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(5) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < a-x < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=-x$（$x \rightarrow 0-0$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(6) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < x-a < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=x$（$x \rightarrow 0+0$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(7) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=-\frac{1}{|x|}$（$x \rightarrow \infty$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(8) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=\frac{1}{x}$（$x \rightarrow -\infty$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(9) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$；例如 $y=-\frac{1}{x}$（$x \rightarrow +\infty$ 时 $y \rightarrow 0-0$）；(10) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=\frac{1}{|x|}$（$x \rightarrow \infty$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(11) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=-\frac{1}{x}$（$x \rightarrow -\infty$ 时 $y \rightarrow 0+0$）；(12) 任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$；例如 $y=\frac{1}{x}$（$x \rightarrow +\infty$ 时 $y \rightarrow 0+0$）

(1) 此极限表示 $x$ 从 $a$ 的双侧趋近于 $a$ 时，$y$ 从 $b$ 下方趋近于 $b$。用 $\varepsilon-\delta$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$，即 $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=b-0$。例如 $y=-|x|$，当 $x \rightarrow 0$ 时，$y=-|x| \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0-0$。
(2) 此为 $x$ 从 $a$ 左侧趋近时的左极限，$y$ 从 $b$ 下方趋近。用 $\varepsilon-\delta$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < a-x < \delta$（即 $a-\delta < x < a$）时，$0 < b-y < \varepsilon$，即 $\lim_{x \rightarrow a-0} f(x)=b-0$。例如 $y=x$，当 $x \rightarrow 0-0$ 时，$y=x \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0-0$。
(3) 此为 $x$ 从 $a$ 右侧趋近时的右极限，$y$ 从 $b$ 下方趋近。用 $\varepsilon-\delta$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < x-a < \delta$（即 $a < x < a+\delta$）时，$0 < b-y < \varepsilon$。例如 $y=-x$，当 $x \rightarrow 0+0$ 时，$y=-x \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0-0$。
(4) 此极限表示 $x$ 从 $a$ 双侧趋近时，$y$ 从 $b$ 上方趋近于 $b$。用 $\varepsilon-\delta$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$，即 $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=b+0$。例如 $y=|x|$，当 $x \rightarrow 0$ 时，$y=|x| \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0+0$。
(5) 此为 $x$ 从 $a$ 左侧趋近时的左极限，$y$ 从 $b$ 上方趋近。用 $\varepsilon-\delta$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < a-x < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$。例如 $y=-x$，当 $x \rightarrow 0-0$ 时，$y=-x \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0+0$。
(6) 此为 $x$ 从 $a$ 右侧趋近时的右极限，$y$ 从 $b$ 上方趋近。用 $\varepsilon-\delta$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < x-a < \delta$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$。例如 $y=x$，当 $x \rightarrow 0+0$ 时，$y=x \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0+0$。
(7) 此极限表示 $x$ 的绝对值无限增大（$x \rightarrow \infty$）时，$y$ 从 $b$ 下方趋近于 $b$。用 $\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$。例如 $y=-\frac{1}{|x|}$，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$y=-\frac{1}{|x|} \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0-0$。
(8) 此为 $x$ 沿负方向无限增大（$x \rightarrow -\infty$）时，$y$ 从 $b$ 下方趋近于 $b$。用 $\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$。例如 $y=\frac{1}{x}$，当 $x \rightarrow -\infty$ 时，$y=\frac{1}{x} \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0-0$。
(9) 此为 $x$ 沿正方向无限增大（$x \rightarrow +\infty$）时，$y$ 从 $b$ 下方趋近于 $b$。用 $\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < b-y < \varepsilon$。例如 $y=-\frac{1}{x}$，当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$y=-\frac{1}{x} \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0-0$。
(10) 此极限表示 $x \rightarrow \infty$ 时，$y$ 从 $b$ 上方趋近于 $b$。用 $\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$。例如 $y=\frac{1}{|x|}$，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$y=\frac{1}{|x|} \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0+0$。
(11) 此为 $x \rightarrow -\infty$ 时，$y$ 从 $b$ 上方趋近于 $b$。用 $\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$。例如 $y=-\frac{1}{x}$，当 $x \rightarrow -\infty$ 时，$y=-\frac{1}{x} \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0+0$。
(12) 此为 $x \rightarrow +\infty$ 时，$y$ 从 $b$ 上方趋近于 $b$。用 $\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < y-b < \varepsilon$。例如 $y=\frac{1}{x}$，当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$y=\frac{1}{x} \rightarrow 0$，即 $y \rightarrow 0+0$。