{"id":"SGOJwipMyk1zuQJU","question":"设函数 $y=f(x)$，请针对以下12种函数极限的趋近过程，分别用 $\\varepsilon-\\delta$（或 $\\varepsilon-N$）语言精确描述其数学含义（即用不等式表达），并各举一个具体的函数例子进行说明：\\n（1）当 $x \\rightarrow a$ 时，函数值 $y$ 从 $b$ 的下方无限趋近于 $b$（即 $y \\rightarrow b-0$）；\\n（2）当 $x$ 从 $a$ 的左侧趋近于 $a$（即 $x \\rightarrow a-0$，左极限）时，$y \\rightarrow b-0$；\\n（3）当 $x$ 从 $a$ 的右侧趋近于 $a$（即 $x \\rightarrow a+0$，右极限）时，$y \\rightarrow b-0$；\\n（4）当 $x \\rightarrow a$ 时，函数值 $y$ 从 $b$ 的上方无限趋近于 $b$（即 $y \\rightarrow b+0$）；\\n（5）当 $x \\rightarrow a-0$ 时，$y \\rightarrow b+0$；\\n（6）当 $x \\rightarrow a+0$ 时，$y \\rightarrow b+0$；\\n（7）当 $x \\rightarrow \\infty$ 时，$y \\rightarrow b-0$；\\n（8）当 $x \\rightarrow -\\infty$ 时，$y \\rightarrow b-0$；\\n（9）当 $x \\rightarrow +\\infty$ 时，$y \\rightarrow b-0$；\\n（10）当 $x \\rightarrow \\infty$ 时，$y \\rightarrow b+0$；\\n（11）当 $x \\rightarrow -\\infty$ 时，$y \\rightarrow b+0$；\\n（12）当 $x \\rightarrow +\\infty$ 时，$y \\rightarrow b+0$。","concepts":"函数极限的定义;左右极限","answer":"(1) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \\delta$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=-|x|$（$x \\rightarrow 0$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(2) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < a-x < \\delta$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=x$（$x \\rightarrow 0-0$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(3) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < x-a < \\delta$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=-x$（$x \\rightarrow 0+0$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(4) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=|x|$（$x \\rightarrow 0$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(5) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < a-x < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=-x$（$x \\rightarrow 0-0$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(6) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < x-a < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=x$（$x \\rightarrow 0+0$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(7) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=-\\frac{1}{|x|}$（$x \\rightarrow \\infty$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(8) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=\\frac{1}{x}$（$x \\rightarrow -\\infty$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(9) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=-\\frac{1}{x}$（$x \\rightarrow +\\infty$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(10) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=\\frac{1}{|x|}$（$x \\rightarrow \\infty$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(11) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=-\\frac{1}{x}$（$x \\rightarrow -\\infty$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(12) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=\\frac{1}{x}$（$x \\rightarrow +\\infty$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）","final_answer":"(1) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \\delta$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=-|x|$（$x \\rightarrow 0$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(2) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < a-x < \\delta$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=x$（$x \\rightarrow 0-0$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(3) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < x-a < \\delta$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=-x$（$x \\rightarrow 0+0$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(4) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=|x|$（$x \\rightarrow 0$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(5) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < a-x < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=-x$（$x \\rightarrow 0-0$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(6) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < x-a < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=x$（$x \\rightarrow 0+0$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(7) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=-\\frac{1}{|x|}$（$x \\rightarrow \\infty$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(8) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=\\frac{1}{x}$（$x \\rightarrow -\\infty$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(9) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$；例如 $y=-\\frac{1}{x}$（$x \\rightarrow +\\infty$ 时 $y \\rightarrow 0-0$）；(10) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=\\frac{1}{|x|}$（$x \\rightarrow \\infty$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(11) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=-\\frac{1}{x}$（$x \\rightarrow -\\infty$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）；(12) 任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$；例如 $y=\\frac{1}{x}$（$x \\rightarrow +\\infty$ 时 $y \\rightarrow 0+0$）","explanation":"(1) 此极限表示 $x$ 从 $a$ 的双侧趋近于 $a$ 时，$y$ 从 $b$ 下方趋近于 $b$。用 $\\varepsilon-\\delta$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \\delta$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$，即 $\\lim_{x \\rightarrow a} f(x)=b-0$。例如 $y=-|x|$，当 $x \\rightarrow 0$ 时，$y=-|x| \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0-0$。\\n(2) 此为 $x$ 从 $a$ 左侧趋近时的左极限，$y$ 从 $b$ 下方趋近。用 $\\varepsilon-\\delta$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < a-x < \\delta$（即 $a-\\delta < x < a$）时，$0 < b-y < \\varepsilon$，即 $\\lim_{x \\rightarrow a-0} f(x)=b-0$。例如 $y=x$，当 $x \\rightarrow 0-0$ 时，$y=x \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0-0$。\\n(3) 此为 $x$ 从 $a$ 右侧趋近时的右极限，$y$ 从 $b$ 下方趋近。用 $\\varepsilon-\\delta$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < x-a < \\delta$（即 $a < x < a+\\delta$）时，$0 < b-y < \\varepsilon$。例如 $y=-x$，当 $x \\rightarrow 0+0$ 时，$y=-x \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0-0$。\\n(4) 此极限表示 $x$ 从 $a$ 双侧趋近时，$y$ 从 $b$ 上方趋近于 $b$。用 $\\varepsilon-\\delta$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$，即 $\\lim_{x \\rightarrow a} f(x)=b+0$。例如 $y=|x|$，当 $x \\rightarrow 0$ 时，$y=|x| \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0+0$。\\n(5) 此为 $x$ 从 $a$ 左侧趋近时的左极限，$y$ 从 $b$ 上方趋近。用 $\\varepsilon-\\delta$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < a-x < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$。例如 $y=-x$，当 $x \\rightarrow 0-0$ 时，$y=-x \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0+0$。\\n(6) 此为 $x$ 从 $a$ 右侧趋近时的右极限，$y$ 从 $b$ 上方趋近。用 $\\varepsilon-\\delta$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$，当 $0 < x-a < \\delta$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$。例如 $y=x$，当 $x \\rightarrow 0+0$ 时，$y=x \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0+0$。\\n(7) 此极限表示 $x$ 的绝对值无限增大（$x \\rightarrow \\infty$）时，$y$ 从 $b$ 下方趋近于 $b$。用 $\\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$。例如 $y=-\\frac{1}{|x|}$，当 $x \\rightarrow \\infty$ 时，$y=-\\frac{1}{|x|} \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0-0$。\\n(8) 此为 $x$ 沿负方向无限增大（$x \\rightarrow -\\infty$）时，$y$ 从 $b$ 下方趋近于 $b$。用 $\\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$。例如 $y=\\frac{1}{x}$，当 $x \\rightarrow -\\infty$ 时，$y=\\frac{1}{x} \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0-0$。\\n(9) 此为 $x$ 沿正方向无限增大（$x \\rightarrow +\\infty$）时，$y$ 从 $b$ 下方趋近于 $b$。用 $\\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < b-y < \\varepsilon$。例如 $y=-\\frac{1}{x}$，当 $x \\rightarrow +\\infty$ 时，$y=-\\frac{1}{x} \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0-0$。\\n(10) 此极限表示 $x \\rightarrow \\infty$ 时，$y$ 从 $b$ 上方趋近于 $b$。用 $\\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $|x| > N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$。例如 $y=\\frac{1}{|x|}$，当 $x \\rightarrow \\infty$ 时，$y=\\frac{1}{|x|} \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0+0$。\\n(11) 此为 $x \\rightarrow -\\infty$ 时，$y$ 从 $b$ 上方趋近于 $b$。用 $\\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x < -N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$。例如 $y=-\\frac{1}{x}$，当 $x \\rightarrow -\\infty$ 时，$y=-\\frac{1}{x} \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0+0$。\\n(12) 此为 $x \\rightarrow +\\infty$ 时，$y$ 从 $b$ 上方趋近于 $b$。用 $\\varepsilon-N$ 语言描述：任给 $\\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，当 $x > N$ 时，$0 < y-b < \\varepsilon$。例如 $y=\\frac{1}{x}$，当 $x \\rightarrow +\\infty$ 时，$y=\\frac{1}{x} \\rightarrow 0$，即 $y \\rightarrow 0+0$。","batch":"graduate_data_12000_1127","type":"解答题"}