Problems & Solutions

已知集合\{1,2,3\}的幂集为$P(\{1,2,3\})$，在该幂集上定义二元运算$\oplus$为集合的对称差运算，由此构成代数系统$V=\langle A, \oplus\rangle$，其中$A=P(\{1,2,3\})$。试找出该代数系统的全部子代数，并指出其中的平凡子代数与真子代数。

共有16个子代数。平凡子代数为$B_1=\{\varnothing\}$和$V$本身；2元子代数有$B_2=\{\varnothing,\{1\}\}$，$B_3=\{\varnothing,\{2\}\}$，$B_4=\{\varnothing,\{3\}\}$，$B_5=\{\varnothing,\{1,2\}\}$，$B_6=\{\varnothing,\{1,3\}\}$，$B_7=\{\varnothing,\{2,3\}\}$，$B_8=\{\varnothing,\{1,2,3\}\}$；4元子代数有$B_9=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$，$B_{10}=\{\varnothing,\{1\},\{3\},\{1,3\}\}$，$B_{11}=\{\varnothing,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}$，$B_{12}=\{\varnothing,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$，$B_{13}=\{\varnothing,\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$，$B_{14}=\{\varnothing,\{3\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$，$B_{15}=\{\varnothing,\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$；8元子代数为$V$本身。除$V$外，其余15个子代数均为真子代数。

共有16个子代数。平凡子代数为$B_1=\{\varnothing\}$和$V$本身；2元子代数有$B_2=\{\varnothing,\{1\}\}$，$B_3=\{\varnothing,\{2\}\}$，$B_4=\{\varnothing,\{3\}\}$，$B_5=\{\varnothing,\{1,2\}\}$，$B_6=\{\varnothing,\{1,3\}\}$，$B_7=\{\varnothing,\{2,3\}\}$，$B_8=\{\varnothing,\{1,2,3\}\}$；4元子代数有$B_9=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$，$B_{10}=\{\varnothing,\{1\},\{3\},\{1,3\}\}$，$B_{11}=\{\varnothing,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}$，$B_{12}=\{\varnothing,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$，$B_{13}=\{\varnothing,\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$，$B_{14}=\{\varnothing,\{3\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$，$B_{15}=\{\varnothing,\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$；8元子代数为$V$本身。除$V$外，其余15个子代数均为真子代数。

幂集$P(\{1,2,3\})$在对称差运算下同构于三维向量空间$\mathbb{F}_2^3$，因此子代数就是它的线性子空间。其维数只能为0、1、2、3：0维子空间有1个，1维子空间有7个，2维子空间有7个，3维子空间有1个，共16个。逐一列出即得到答案中的$B_1$至$B_{15}$以及$V$本身；其中除$V$外的15个均为真子代数。