{"id":"B6Jla4oUbDQ12fPv","question":"已知集合\\{1,2,3\\}的幂集为$P(\\{1,2,3\\})$，在该幂集上定义二元运算$\\oplus$为集合的对称差运算，由此构成代数系统$V=\\langle A, \\oplus\\rangle$，其中$A=P(\\{1,2,3\\})$。试找出该代数系统的全部子代数，并指出其中的平凡子代数与真子代数。","concepts":"群论;集合论","answer":"共有16个子代数。平凡子代数为$B_1=\\{\\varnothing\\}$和$V$本身；2元子代数有$B_2=\\{\\varnothing,\\{1\\}\\}$，$B_3=\\{\\varnothing,\\{2\\}\\}$，$B_4=\\{\\varnothing,\\{3\\}\\}$，$B_5=\\{\\varnothing,\\{1,2\\}\\}$，$B_6=\\{\\varnothing,\\{1,3\\}\\}$，$B_7=\\{\\varnothing,\\{2,3\\}\\}$，$B_8=\\{\\varnothing,\\{1,2,3\\}\\}$；4元子代数有$B_9=\\{\\varnothing,\\{1\\},\\{2\\},\\{1,2\\}\\}$，$B_{10}=\\{\\varnothing,\\{1\\},\\{3\\},\\{1,3\\}\\}$，$B_{11}=\\{\\varnothing,\\{2\\},\\{3\\},\\{2,3\\}\\}$，$B_{12}=\\{\\varnothing,\\{1\\},\\{2,3\\},\\{1,2,3\\}\\}$，$B_{13}=\\{\\varnothing,\\{2\\},\\{1,3\\},\\{1,2,3\\}\\}$，$B_{14}=\\{\\varnothing,\\{3\\},\\{1,2\\},\\{1,2,3\\}\\}$，$B_{15}=\\{\\varnothing,\\{1,2\\},\\{1,3\\},\\{2,3\\}\\}$；8元子代数为$V$本身。除$V$外，其余15个子代数均为真子代数。","final_answer":"共有16个子代数。平凡子代数为$B_1=\\{\\varnothing\\}$和$V$本身；2元子代数有$B_2=\\{\\varnothing,\\{1\\}\\}$，$B_3=\\{\\varnothing,\\{2\\}\\}$，$B_4=\\{\\varnothing,\\{3\\}\\}$，$B_5=\\{\\varnothing,\\{1,2\\}\\}$，$B_6=\\{\\varnothing,\\{1,3\\}\\}$，$B_7=\\{\\varnothing,\\{2,3\\}\\}$，$B_8=\\{\\varnothing,\\{1,2,3\\}\\}$；4元子代数有$B_9=\\{\\varnothing,\\{1\\},\\{2\\},\\{1,2\\}\\}$，$B_{10}=\\{\\varnothing,\\{1\\},\\{3\\},\\{1,3\\}\\}$，$B_{11}=\\{\\varnothing,\\{2\\},\\{3\\},\\{2,3\\}\\}$，$B_{12}=\\{\\varnothing,\\{1\\},\\{2,3\\},\\{1,2,3\\}\\}$，$B_{13}=\\{\\varnothing,\\{2\\},\\{1,3\\},\\{1,2,3\\}\\}$，$B_{14}=\\{\\varnothing,\\{3\\},\\{1,2\\},\\{1,2,3\\}\\}$，$B_{15}=\\{\\varnothing,\\{1,2\\},\\{1,3\\},\\{2,3\\}\\}$；8元子代数为$V$本身。除$V$外，其余15个子代数均为真子代数。","explanation":"幂集$P(\\{1,2,3\\})$在对称差运算下同构于三维向量空间$\\mathbb{F}_2^3$，因此子代数就是它的线性子空间。其维数只能为0、1、2、3：0维子空间有1个，1维子空间有7个，2维子空间有7个，3维子空间有1个，共16个。逐一列出即得到答案中的$B_1$至$B_{15}$以及$V$本身；其中除$V$外的15个均为真子代数。","batch":"graduate_data_12000_1127","type":"解答题"}