{"id":"3zASR9pZgasQq9V4","question":"在实数域 $\\mathbb{R}$ 上的四维线性空间 $V$ 中，已知 $\\varepsilon_{1}, \\varepsilon_{2}, \\varepsilon_{3}, \\varepsilon_{4}$ 是一组基，线性变换 $\\sigma$ 对该组基的作用定义如下：\n$\\sigma(\\varepsilon_{1})=\\varepsilon_{2}+\\varepsilon_{3}-\\varepsilon_{4}$，$\\sigma(\\varepsilon_{2})=\\varepsilon_{1}-\\varepsilon_{3}+\\varepsilon_{4}$，$\\sigma(\\varepsilon_{3})=\\varepsilon_{1}-\\varepsilon_{2}+\\varepsilon_{4}$，$\\sigma(\\varepsilon_{4})=-\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{2}+\\varepsilon_{3}$。\n请完成以下问题：\n（1）求 $\\sigma$ 在基 $\\varepsilon_{1}, \\varepsilon_{2}, \\varepsilon_{3}, \\varepsilon_{4}$ 下的矩阵 $A$；\n（2）确定 $\\sigma$ 的全部特征值，并写出每个特征值对应的所有特征向量；\n（3）找出一个正交矩阵 $T$，使得 $T^{-1}AT$ 为对角矩阵，并写出此对角矩阵。","concepts":"线性变换的矩阵表示;特征值与对角化;正交对角化","answer":"(1)$A=\\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0\\end{pmatrix}$；(2)特征值：1（三重），-3（一重）；特征向量：对应1的为$C_{1}(\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{2})+C_{2}(\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{3})+C_{3}(-\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{4})$（$C_{1},C_{2},C_{3}$不全为零），对应-3的为$C_{4}(\\varepsilon_{1}-\\varepsilon_{2}-\\varepsilon_{3}+\\varepsilon_{4})$（$C_{4} \\neq 0$）；(3)$T=\\begin{pmatrix}\\frac{\\sqrt{2}}{2} & \\frac{\\sqrt{6}}{6} & -\\frac{\\sqrt{12}}{12} & \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{\\sqrt{2}}{2} & -\\frac{\\sqrt{6}}{6} & \\frac{\\sqrt{12}}{12} & -\\frac{1}{2} \\\\ 0 & \\frac{\\sqrt{6}}{3} & \\frac{\\sqrt{12}}{12} & -\\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0 & \\frac{\\sqrt{12}}{4} & \\frac{1}{2}\\end{pmatrix}$，对角矩阵$\\operatorname{diag}\\{1,1,1,-3\\}$","final_answer":"(1)$A=\\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0\\end{pmatrix}$；(2)特征值：1（三重），-3（一重）；特征向量：对应1的为$C_{1}(\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{2})+C_{2}(\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{3})+C_{3}(-\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{4})$（$C_{1},C_{2},C_{3}$不全为零），对应-3的为$C_{4}(\\varepsilon_{1}-\\varepsilon_{2}-\\varepsilon_{3}+\\varepsilon_{4})$（$C_{4} \\neq 0$）；(3)$T=\\begin{pmatrix}\\frac{\\sqrt{2}}{2} & \\frac{\\sqrt{6}}{6} & -\\frac{\\sqrt{12}}{12} & \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{\\sqrt{2}}{2} & -\\frac{\\sqrt{6}}{6} & \\frac{\\sqrt{12}}{12} & -\\frac{1}{2} \\\\ 0 & \\frac{\\sqrt{6}}{3} & \\frac{\\sqrt{12}}{12} & -\\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0 & \\frac{\\sqrt{12}}{4} & \\frac{1}{2}\\end{pmatrix}$，对角矩阵$\\operatorname{diag}\\{1,1,1,-3\\}$","explanation":"（1）根据线性变换在基下的矩阵定义，矩阵 $A$ 的第 $i$ 列是 $\\sigma(\\varepsilon_i)$ 在基 $\\varepsilon_{1}, \\varepsilon_{2}, \\varepsilon_{3}, \\varepsilon_{4}$ 下的坐标。由题设：\n$\\sigma(\\varepsilon_{1})=0\\varepsilon_{1}+1\\varepsilon_{2}+1\\varepsilon_{3}-1\\varepsilon_{4}$，故第1列坐标为 $(0,1,1,-1)^T$；\n$\\sigma(\\varepsilon_{2})=1\\varepsilon_{1}+0\\varepsilon_{2}-1\\varepsilon_{3}+1\\varepsilon_{4}$，故第2列坐标为 $(1,0,-1,1)^T$；\n$\\sigma(\\varepsilon_{3})=1\\varepsilon_{1}-1\\varepsilon_{2}+0\\varepsilon_{3}+1\\varepsilon_{4}$，故第3列坐标为 $(1,-1,0,1)^T$；\n$\\sigma(\\varepsilon_{4})=-1\\varepsilon_{1}+1\\varepsilon_{2}+1\\varepsilon_{3}+0\\varepsilon_{4}$，故第4列坐标为 $(-1,1,1,0)^T$。\n因此，$A=\\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0\\end{pmatrix}$。\n\n（2）计算特征方程 $|\\lambda E - A|=0$，得特征多项式 $|\\lambda E - A|=(\\lambda - 1)^3(\\lambda + 3)$，故特征值为 $1$（三重）和 $-3$（一重）。\n当 $\\lambda=1$ 时，解 $(E - A)x=0$，基础解系为 $\\alpha_{1}=(1,1,0,0)^T, \\alpha_{2}=(1,0,1,0)^T, \\alpha_{3}=(-1,0,0,1)^T$，全部特征向量为 $C_{1}\\alpha_{1}+C_{2}\\alpha_{2}+C_{3}\\alpha_{3}$（$C_{1},C_{2},C_{3}$ 不全为零），在基下表示为 $C_{1}(\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{2})+C_{2}(\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{3})+C_{3}(-\\varepsilon_{1}+\\varepsilon_{4})$。\n当 $\\lambda=-3$ 时，解 $(-3E - A)x=0$，基础解系为 $\\beta=(1,-1,-1,1)^T$，全部特征向量为 $C_{4}\\beta$（$C_{4} \\neq 0$），在基下表示为 $C_{4}(\\varepsilon_{1}-\\varepsilon_{2}-\\varepsilon_{3}+\\varepsilon_{4})$。\n\n（3）对 $\\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\alpha_{3}$ 正交化：\n$\\eta_{1}=\\alpha_{1}=(1,1,0,0)^T$；\n正交化直接得到\n$\\widetilde{\\eta}_{2}=\\alpha_{2}-\\frac{(\\alpha_{2},\\eta_{1})}{(\\eta_{1},\\eta_{1})}\\eta_{1}=\\left(\\frac{1}{2},-\\frac{1}{2},1,0\\right)^T=\\frac{1}{2}(1,-1,2,0)^T$。\n为避免分数，取其非零倍数$\\eta_{2}=(1,-1,2,0)^T$。利用该$\\eta_2$继续正交化，直接得到\n$\\widetilde{\\eta}_{3}=\\alpha_{3}-\\frac{(\\alpha_{3},\\eta_{1})}{(\\eta_{1},\\eta_{1})}\\eta_{1}-\\frac{(\\alpha_{3},\\eta_{2})}{(\\eta_{2},\\eta_{2})}\\eta_{2}=\\left(-\\frac{1}{3},\\frac{1}{3},\\frac{1}{3},1\\right)^T=\\frac{1}{3}(-1,1,1,3)^T$。\n为避免分数，取其非零倍数$\\eta_{3}=(-1,1,1,3)^T$。\n单位化 $\\eta_{1}, \\eta_{2}, \\eta_{3}, \\beta$ 后组成正交矩阵 $T$，即得 $T^{-1}AT=\\operatorname{diag}\\{1,1,1,-3\\}$。","batch":"graduate_data_12000_1127","type":"解答题"}